Corps de fonctions

En mathématiques, un corps de fonctions est un corps commutatif F de type fini sur un corps de base K. On le note habituellement F/K, ou, si le contexte est clair, seulement F. De façon équivalente un corps de fonctions « à n variables » est une extension finie F d'un corps K(t₁, … , t_n) de fractions rationnelles à n indéterminées. F est alors de degré de transcendance n sur K.

Une extension L de k est un corps de fonctions (à n variables) si et seulement si c'est le corps des fonctions rationnelles (en) d'une variété algébrique intègre sur k (de dimension n).
Un corps de fonctions à une variable sur un corps fini est un corps global de caractéristique positive. C'est le corps des fonctions rationnelles d'une courbe projective lisse intègre sur un corps fini.

Exemple

Soit K un corps. Le corps K(X) des fractions rationnelles à une variable est un corps de fonctions sur K.

Corps des constantes

Soit F/K un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de F algébriques sur K est un corps, appelé corps des constantes.

Par exemple, $\mathbb {C} (x)$ est un corps de fonctions sur $\mathbb {R}$ , son corps des constantes est $\mathbb {C}$ .

Valuations et places

Étant donné un corps de fonctions F/K d'une variable, on définit la notion d'anneau de valuation de F/K. C'est un sous-anneau O de F qui contient K, mais distinct de ces deux corps, et tel que pour tout x ∈ F, x ∈ O ou x⁻¹ ∈ O.